ثابت می‌کنیم پاسخ برابر $n+1$ است.

ابتدا ثابت می‌کنیم پیام روشی تضمینی با کم‌تر از $n+1$ پرسش ندارد. از برهان خلف استفاده می‌کنیم. فرض کنید پیام با $m\le n$ پرسش به هدف خود رسیده است. اگر پاسخ حسام برای پرسش آخر برابر با پاسخ درست پرسش نخست شده باشد، در این صورت اگر $m=1$ باشد، مقدار $k$ می‌تواند هر یک از اعداد $1, 2$ و اگر $m\neq1$ باشد، مقدار $k$ می‌تواند هر یک از اعداد $m$ یا $m-1$ (و حتّی اعدادی دیگر) باشد. پس پیام نمی‌تواند به طور یکتا $k$ را تشخیص دهد که تناقض است و حکم اثبات می‌شود. $\blacksquare$

حال ثابت می‌کنیم پیام می‌تواند با حداکثر $n+1$ پرسش به هدف خود برسد. پیام در پرسش نخست خود رنگ دست‌کش دست راست حمید و در بقیه‌ی پرسش‌ها رنگ دست‌کش دست چپ او را می‌پرسد. ادّعا می‌کنیم پس از این $n+1$ پرسش $k$ به طور یکتا تعیین می‌شود. از برهان خلف استفاده می‌کنیم. فرض کنید این طور نباشد؛ یعنی دست کم دو عدد مثل $p, q$ وجود دارند که مقدار $k$ می‌تواند برابر با آن‌ها باشد. بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض کنید $p > q$ باشد. از آن‌جایی که $q$ نامزدی برای $k$ است، پس پاسخ پرسش $q+1$ باید آبی و پاسخ پرسش‌های $q+2, q+3, \ldots, n+1$ باید قرمز باشد؛ بنابراین پاسخ پرسش $p+1$ نیز قرمز است؛ زیرا $p+1 \ge q+2$. از طرفی $p$ نیز نامزدی برای $k$ است؛ پس پاسخ پرسش $p+1$ باید آبی باشد. این یک تناقض است و حکم ثابت می‌شود.