Processing math: 11%

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۹:سوال ۲۵

سوال ۲۵

اعداد ۱۶٬۱۵٬۱۴٬۱۲٬۱۱٬۱۰٬۹٬۸٬۷ و ۱۸ مجموع دوبه‌دوی ۵ عدد طبیعی متفاوت هستند.

تعداد اعداد فرد در این ۵ عدد چندتا است؟

  1. ۱
  2. ۲
  3. ۳
  4. ۴
  5. ۵

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

گر تعداد فردها را a و تعداد زوج‌ها را 5a در نظر بگیریم آن‌گاه تعداد اعداد فرد تولید شده برابر \binom{a}{1} \binom{5-a}{1} خواهد شد٬ بنابراین:

\binom{a}{1} \binom{5-a}{1}=4 \quad \Rightarrow \quad a^2-5a+4=0 \quad \Rightarrow \quad (a-1)(a-4)=0 \quad \Rightarrow \quad a=1 \quad or \quad a=4

اگر a=1 یعنی فقط یک عدد فرد داشته باشیم و آن را x و اعداد زوج را y_3،y_2،y_1 و y_4 بنامیم آن‌گاه:

x+y_1=7 \quad\quad\quad\quad\quad\quad x+y_3=11 \\ x+y_2=9 \quad\quad\quad\quad\quad\quad x+y_4=15

از تساوی‌های فوق معلوم می‌شود که اعداد زوج به ترتیب به صورت y_1+4،y_1+2،y_1 و y_1+8 می‌باشند معلوم است که کوچک‌ترین اعداد یعنی ۸ را دو عدد y_1 و y_1+2 تولید می‌کنند بنابراین 2y+2=8 یا y_1=3 و این با زوج بودن y_1 در تضاد است.

اگر a=4 باشد، دنباله‌ی ۳و۴و۵و۷و۱۱ یک دنباله با این ویژگی است.


ابزار صفحه