المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۲۳:سوال ۴

سوال ۴

یگانه یک جدول شطرنجی سیاه-‌‌سفید با ابعاد ۱۹$\times$۱۹ دارد که سطرهایش را از بالا به پایین و ستون هایش را از چپ به راست با اعداد ۱ تا ۱۹ شماره‌گذاری کرده است. سپس در هریک از خانه های جدول حاصل ضرب شماره ی سطر و شماره ی ستونی را که در آن قرار دارد یادداشت میکند. با فرض اینکه خانه ی بالا-چپ جدول سیاه باشد، مجموع اعدادی که در خانه های سیاه نوشته شده، چند است؟

  1. $۲\times۹۰^ ۲$
  2. $۲\times۱۰۰^۲$
  3. $۲\times۹۵^۲$
  4. $۹۰^۲+۱۰۰^۲$
  5. $۲\times۹۰^۲ + ۹۵$

راهنمایی

به ازای سطر شماره ۱، چه حاصل ضرب‌هایی با پاسخ جمع زده می‌شوند؟

راهنمایی

اگر به جای سطر ۱، سطر ۳ را در نظر بگیریم چطور؟

راهنمایی

از روی سطر ۱ و سطر ۳، به نتیجه‌ای برای سطر‌های فرد می‌توان رسید؟

راهنمایی

سطر‌های زوج را به طور مشابه بررسی کنید.

راهنمایی

سعی کنید با عمل فاکتورگیری در عبارات یادداشت شد، محاسبات را ساده سازی کنید.

پاسخ

گزینه‌ی ۱ درست است.

طبق نکات یاد شده در سوال می‌دانیم خانه‌های سیاه، خانه‌هایی هستند که زوجیت شماره‌ی سطر و ستونشان یکی است.

ابتدا مجموع خانه‌های واقع در سطر و ستون فرد و سپس مجموع خانه‌های واقع در سطر و ستون زوج را محاسبه می‌کنیم. هرکدام شامل جدولی کامل خواهند بود که مجموعش از ضرب مجموع سطر در مجموع ستون به‌دست می‌آید.

$$(1+3+⋯+19)^2+(2+4+⋯18)^2=90^2+100^2$$


ابزار صفحه