Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۲۰:سوال ۱۰

سوال ۱۰

دو چندجمله‌ای x20x19+x18...+x2x1+۱ و x20+x19+x18+...+x2+x1+۱ را در یکدیگر ضرب می‌کنیم. اگر مجموع ضرایب چندجمله‌ای حاصل A باشد٬ باقی‌مانده‌ی A بر ۵ کدام است؟

  1. ۰
  2. ۱
  3. ۲
  4. ۳
  5. ۴

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

چندجمله‌ای اول را به صورت جزء به جزء در چندجمله‌ای دوم ضرب می‌کنیم و مجموع ضرایب را بررسی می‌کنیم. با ضرب کردن x0 به تمام ضرایب x0 تا x20 یک واحد اضافه می‌شود که در مجموع به تمام ضرایب ۲۱ واحد اضافه می‌شود و با ضرب کردن x1 از تمام ضرایب x1 تا x21 یک واحد کم می‌شود پس در کل ۲۱ واحد از ضرایب کم می‌شود به همین روال هر دو ضریب متوالی مجموع ضرایب را ۰ نگه می‌دارند و x20 با ضرب شدنش در جمله‌ی دوم مجموع ضرایب را ۲۱ واحد اضافه می‌کند که باقی‌مانده‌ی این عدد بر ۵ برابر ۱ می‌باشد.

روش دوم: مجموع ضرایب یک چندجمله‌ای را می‌توان با قرار دادن x=1 در آن به‌دست آورد. با این‌کار دوچند‌جمله‌ای برابر ۱ و ۲۱ می‌شوند و در نتیجه مجموع ضرایب برابر ۲۱ است که باقی‌مانده‌ی این عدد بر ۵ برابر ۱ می‌باشد.


ابزار صفحه