آقای «ب» بهتازگی یک کیف سامسونت خریده است که رمز آن از سه گردونهی ارقام تشکیل شده است که اعداد ۰ تا ۹ به ترتیب روی هرکدام از آنها نوشتهشدهاند. آقای «ب» در هر حرکت میتواند یک، دو یا سه گردونه را همزمان یک واحد به جلو یا عقب بچرخاند؛ در این صورت اعداد روی گردونههای چرخانده شده به ترتیب یک واحد زیاد یا یک واحد کم میشوند. دقت کنید که اگر گردونهای مقدار ۹ را داشته باشد و یک واحد به جلو چرخانده شود، مقدار آن صفر شده و نیز اگر گردونهای مقدار صفر را داشته باشد و یک واحد به عقب چرخانده شود، مقدار آن ۹ میشود. برای مثال، آقای «ب» میتواند مطابق شکل زیر، رمز کیفش را در ۴ حرکت از ۳۲۴ به صفر تبدیل کند:
اگر حداقل تعداد حرکات لازم برای تبدیل عدد سهرقمی $x$ به سه رقم صفر را $f(x)$ بنامیم، حداکثر مقدار $f(x)$ را برای تمام مقادیر $100 \le x \le 999$ ٬ برابر است با:
پاسخ
گزینه (۲) درست است.
اگر هر سه رقم در بازهی $[0,7]$ ویا در بازهی $[3,9]$ باشند٬ آنگاه با حداکثر ۷ مرحله٬ به صفر خواهیم رسید(در مورد اول گردونه مربوط به بزرگترین رقم را آنقدر به عقب میچرخانیم تا با عدد متوسط برابر باشد٬ سپس گردونههای مربوط به آن دو رقم را آنقدر به عقب میچرخانیم تا با عدد کوچک برابر باشند و در نهایت نیز هر سه گردونه را با هم میچرخانیم تا به سه تا صفر برسیم. در مورد دوم نیز کار را با چرخاندن گردونه مربوط به کوچکترین رقم به سمت جلو ادامه میدهیم.
اگر دو رقم در بازهی $[0,5]$ و رقم دیگر در بازهی $[8,9]$ باشد نیز حداکثر مراحل کار برابر با ۷ میباشد٬ به این ترتیب که ابتدا عدد بزرگتر در بازهی $[0,5]$ را آنقدر به عقب میچرخانیم تا با عدد دیگر برابر باشند٬ سپس آن دو گردونه را با هم آنقدر میچرخانیم تا به صفر برسند(معلوم است که این مراحل حداکثر بابر ۵ میباشد)٬ در نهایت نیز گردونهی سوم را که عددش ۸ و یا ۹ میباشد به جلو میچرخانیم تا به صفر برسد(در این مورد نظر حداکثر مراحل برابر ۲ میباشد).
اگر دو رقم در بازهی $[5,9]$ و رقم دیگر در بازهی $[1,2]$ باشد نیز همانند بند قبلی عمل میکنیم.