سوال ۳۱
شکل روبه‌رو یک جدول $3\times 3$ است که هر مربع آن به دو خانه مثلثی شکل تقسیم شده است.
می‌خواهیم در هر مثلث یک عدد بنویسیم به نحوی که تمامی اعداد ۱ تا ۱۸ در جدول ظاهر
شده باشند و در هر یک از ۹ مربع اولیه، مجموع اعداد نوشته‌شده در دو مثلث آن برابر عددی ثابت
گردد. همچنین مجموع کل اعداد نوشته شده در هر سه مربعی که یک سطر یا ستون جدول $3\times 3$
را تشکیل می‌دهند، عدد ثابتی شود. این کار به چند طریق امکان‌پذیر است؟
- $18 \choose 9$
- $18!\over 9!$
- $9!$
- $2^9\times 18!\over 9!$
- $2^9\times 9!$
پاسخ
گزینه (۵) درست است.
چون مجموع اعداد موجود در مربع‌های $B،A$ و $C$ با مجموع دو عدد موجود در مربع‌های $D،A$ و $C$ برابر است٬ بنابراین مجموع دو عدد موجود در $B$ با مجموع دو عدد موجود در $D$ برابر است. به همین ترتیب معلوم می‌شود که مجموع دو عدد موجود در یک مربع با مجموع دو عدد موجود در هر مربع دیگری برابر است که این مجموع برابر با ۱۹ می‌باشد. لذا اعداد ۲٬۱،…۱۸٬ را به ۹ دسته‌ی $(9,10)،...،(2,17)،(1,18)$ دسته‌بندی کرده و آن‌ها را به $9!$ طریق بین ۹ مربع تقسیم کرده و سپس هر زوج را به $2!$ طریق در مثلث‌های موجود در هر مربع قرار می‌دهیم. که تعداد کل روش‌ها $9! \times 2^9$ خواهد شد.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
