Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۱:سوال ۲۷

سوال ۲۷

یک خط ‎«سوایی»‎ در مثلث، یک پاره‌خط از یک رأس مثلث به ضلع مقابل آن است. در مثلث ‎ABC‎ از رأس‌های ‎B‎، ‎A‎ و ‎C‎ به‌ترتیب ‎۱۵٬۵ و ‎۱۰‎ خط سوایی رسم کرده‌ایم. اگر هیچ ‎۳‎ خطی در یک نقطه داخل مثلث هم‌دیگر را قطع نکنند، چند ناحیه در داخل مثلث به‌وجود می‌آید؟ ‎

  1. ۲۷۵
  2. ۲۷۶
  3. ۳۰۶
  4. ۷۵۰
  5. ۱۰۵۶‎

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

۵ خط مرسوم از A‎ مثلث را به ۶ ناحیه تقسیم می‌کند. ۱۵ خط مرسوم از ‎B‎ هریک٬ خطوط مرسوم از A (پنج خط سوایی به همراه پاره‌خط AC) را قطع می‌کند و به ازای هر نقطه‌ی تقاطع یک ناحیه‌ی جدید ایجاد می‌شود. بنابراین کل ناحیه‌های به‌دست آمده تا این مرحله برابر 15×6+6؛ یعنی ۹۶ می‌باشد. هریک از ۱۰ خط مرسوم از ‎C هر یک از ۲۱ خط قبلی (15+5 خط سوایی به همراه پاره‌خط AB) را در یک نقطه قطع می‌کند٬ بنابراین تعداد ناحیه‌های اضافه شده برابر 10×21؛ یعنی ۲۱۰ خواهد شد. معلوم می‌شود که تعداد کل ناحیه‌ها برابر 210+96؛ یعنی ۳۰۶ می‌باشد.


ابزار صفحه