یک خط «سوایی» در مثلث، یک پارهخط از یک رأس مثلث به ضلع مقابل آن است. در مثلث ABC از رأسهای B، A و C بهترتیب ۱۵٬۵ و ۱۰ خط سوایی رسم کردهایم. اگر هیچ ۳ خطی در یک نقطه داخل مثلث همدیگر را قطع نکنند، چند ناحیه در داخل مثلث بهوجود میآید؟
پاسخ
گزینه (۳) درست است.
۵ خط مرسوم از A مثلث را به ۶ ناحیه تقسیم میکند. ۱۵ خط مرسوم از B هریک٬ خطوط مرسوم از A (پنج خط سوایی به همراه پارهخط AC) را قطع میکند و به ازای هر نقطهی تقاطع یک ناحیهی جدید ایجاد میشود. بنابراین کل ناحیههای بهدست آمده تا این مرحله برابر 15×6+6؛ یعنی ۹۶ میباشد. هریک از ۱۰ خط مرسوم از C هر یک از ۲۱ خط قبلی (15+5 خط سوایی به همراه پارهخط AB) را در یک نقطه قطع میکند٬ بنابراین تعداد ناحیههای اضافه شده برابر 10×21؛ یعنی ۲۱۰ خواهد شد. معلوم میشود که تعداد کل ناحیهها برابر 210+96؛ یعنی ۳۰۶ میباشد.