Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۱۰:سوال ۲۰

سوال ۲۰

می‌خواهیم تعدادی مهره‌ی ‎2×1‎ را در یک جدول ‎12×1‎ بچینیم به‌طوری‌که هر مهره دقیقاً روی دو خانه‌ی مجاور قرار گیرد و دیگر نتوانیم هیچ مهره‌یی روی جدول قرار دهیم. به چند طریق این کار ممکن است؟

  1. ‎۱۹
  2. ۲۰
  3. ۲۱
  4. ۲۲
  5. ۲۳‎

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

راه‌حل اول: اگر تعداد مهره‌ها ۶ عدد باشد آن‌گاه به یک طریق می‌توان آن‌ها را چید.

اگر تعداد مهره‌ها ۵ عدد باشد٬ آن‌گاه دو خانه‌ی غیر مجاور باید خالی بمانند که به یکی از ۱۵ طریق زیر ممکن است:

143658710912163851071218310512110312112

اگر تعداد مهره‌ها ۴ عدد بیش‌تر باشد آن‌گاه چهار خانه‌ی غیر مجاور باید خالی بمانند که به یکی از ۵ طریق زیر ممکن است.

1471014712149121691236912

مجموع کل حالات مورد اشاره برابر 1+15+5؛ یعنی ۲۱ می‌باشد.

راه حل دوم: تعداد طرق چیدن مهره‌های 2×1 در جدول n×1 را fn می‌نامیم. هریک از fn طریق دو حالت می‌تواند داشته باشد. به این صورت که یا خانه‌ی n ام آن خالی یا پر است. در حالت او ل خانه‌های (n1) ام و (n2) ام یقینا پر هستند و از آن خانه به قبل نیز تعداد طرق چیدن‌ها برابر fn3 می‌باشد. در حالت دوم نیز خانه‌ی (n1) ام یقینا پر هست٬ بنابراین تعداد طرق چیدن مهره در سایر خانه‌ها برابر fn2 می‌باشد٬ یعنی رابطه‌ی fn=fn2+fn3 برقرار است. چون f(2)=1،f(1)=1 و f(3)=2، بنابراین با محاسبه‌٬ f(12) برابر با ۲۱ به‌دست می‌آید.


ابزار صفحه