میخواهیم تعدادی مهرهی 2×1 را در یک جدول 12×1 بچینیم بهطوریکه هر مهره دقیقاً روی دو خانهی مجاور قرار گیرد و دیگر نتوانیم هیچ مهرهیی روی جدول قرار دهیم. به چند طریق این کار ممکن است؟
پاسخ
گزینه (۳) درست است.
راهحل اول: اگر تعداد مهرهها ۶ عدد باشد آنگاه به یک طریق میتوان آنها را چید.
اگر تعداد مهرهها ۵ عدد باشد٬ آنگاه دو خانهی غیر مجاور باید خالی بمانند که به یکی از ۱۵ طریق زیر ممکن است:
1−43−65−87−109−121−63−85−107−121−83−105−121−103−121−12
اگر تعداد مهرهها ۴ عدد بیشتر باشد آنگاه چهار خانهی غیر مجاور باید خالی بمانند که به یکی از ۵ طریق زیر ممکن است.
1−4−7−101−4−7−121−4−9−121−6−9−123−6−9−12
مجموع کل حالات مورد اشاره برابر 1+15+5؛ یعنی ۲۱ میباشد.
راه حل دوم: تعداد طرق چیدن مهرههای 2×1 در جدول n×1 را fn مینامیم. هریک از fn طریق دو حالت میتواند داشته باشد. به این صورت که یا خانهی n ام آن خالی یا پر است. در حالت او ل خانههای (n−1) ام و (n−2) ام یقینا پر هستند و از آن خانه به قبل نیز تعداد طرق چیدنها برابر fn−3 میباشد. در حالت دوم نیز خانهی (n−1) ام یقینا پر هست٬ بنابراین تعداد طرق چیدن مهره در سایر خانهها برابر fn−2 میباشد٬ یعنی رابطهی fn=fn−2+fn−3 برقرار است. چون f(2)=1،f(1)=1 و f(3)=2، بنابراین با محاسبه٬ f(12) برابر با ۲۱ بهدست میآید.