فرض کنید $G$ یک گراف جهت‌دار با رأس‌های ۱ تا $n$ باشد. به ازای هر $1 \le i, j \le n$ یک یال جهت‌دار از رأس $i$ به رأس $j$ با وزن $a(i, j) \in \mathbb{R}$ وجود دارد. توجه کنید لزومن $i \neq j$ نیست و از هر رأس به خودش نیز یک یال وجود دارد.

فرض کنید $\pi = \langle \pi_1, \ldots, \pi_n \rangle$ یک جایگشت از اعداد ۱ تا $n$ باشد. تعداد وارونگی‌های $\pi$ را با $inv(\pi)$ نشان می‌دهیم. عدد سلطانی $\pi$ برابر با $$S(\pi) = (-1)^{inv(\pi)}\prod_{i=1}^n a(i, \pi_i)$$ است.

فرض کنید $W = \langle v_1, v_2, \ldots v_k, v_1 \rangle$ یک گشت بسته در گراف $G$ باشد. به این گشت ایلیچی گوییم، اگر $v_1$ فقط در ابتدا و انتهای گشت ظاهر شده و شماره‌ی آن از تمام رأس‌های دیگر گشت کم‌تر باشد. به $v_1$ نماینده‌ی گشت $W$ گفته و آن را با $r(W)$ نشان می‌دهیم. توان گشت $W$ برابر با ضرب اعداد تمام یال‌های آن است و با $p(W)$ نشان داده می‌شود. به دنباله‌ای از گشت‌های ایلیچی مانند $D = \langle W_1, \ldots, W_t \rangle$ ایلیچانوفی گوییم، اگر در مجموع $n$ یال داشته و $r(W_1) < \ldots < r(W_t)$ باشد. عدد ایلیچی $D$ برابر با $$I(D) = (-1)^{n+t} \prod_{i=1}^t p(W_i)$$ تعریف می‌شود.

مجموعه‌ی تمام جایگشت‌های اعداد ۱ تا $n$ را با $A$ و مجموعه‌ی تمام دنباله‌های ایلیچانوفی را با $B$ نشان می‌دهیم. ثابت کنید: $$\sum_{\pi \in A} S(\pi) = \sum_{D \in B} I(D)$$

• سوال بعد
• سوال قبل