Processing math: 6%

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:دوره ی تابستان:دوره ی ۲۴:تئوری نهایی اول:سوال ۲

سوال ۲

دو نفر با هم بازی می‌کنند. در ابتدا یک گراف ‎2n-رأسی با رئوس ‎v_1‎, ‎v_2‎, ‎\ldots‎, ‎v_{2n}‎ داریم که هیچ یالی ندارد. در هر مرحله، نفر نخست یک یال به گراف اضافه می‌کند، طوری که دور ایجاد نشود؛ سپس نفر دوم به هر رأسی که عددی ندارد و درجه‌ی آن نیز صفر نیست، یک عدد از مجموعه‌ی ‎A=\{2^1‎, ‎2^2‎, ‎\ldots‎, ‎2^{2n}\}‎ نسبت می‌دهد. پس از ‎2n-1‎ مرحله، بازی تمام می‌شود و یک درخت ساخته می‌شود. نفر دوم باید طوری بازی کند که در انتها، هر عدد مجموعه‌ی ‎A‎، دقیقا به یک رأس نسبت داده شده باشد.

فرض کنید پس از پایان بازی، رأس ‎v_i‎، درجه‌ی ‎d_i‎ داشته باشد و عدد نسبت داده شده به آن، ‎a_i‎ باشد. امتیاز هر یال ‎v_iv_j‎ را برابر ‎a_i+a_j‎ در نظر می‌گیریم. جمع امتیاز یال‌ها در پایان بازی را ‎f(n)‎ می‌نامیم. به عبارتی دیگر، ‎\begin{equation*}‎ ‎f(n)=\sum_{i=1}^{2n}d_i\times{}a_i‎ ‎\end{equation*}‎ است. نفر نخست می‌خواهد ‎f(n)‎ کمینه شود و نفر دوم می‌خواهد ‎f(n)‎ بیشینه شود. فرض کنید هر دو بازی‌کن، به‌ترین بازی ممکن را انجام دهند. ثابت کنید: ‎\begin{equation*}‎ ‎f(n)=\frac{2^{2n+3}-8}{3}+2n-4‎ ‎\end{equation*}


ابزار صفحه