Processing math: 64%

المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:دوره ی تابستان:دوره ی ۱۹:ترکیبیات:سوال ۸

سوال ۸

ثابت کنید حداقل ‎n!×(n1)!××2!×1!‎ مربع لاتینِ ‎n‎ در ‎n‎ متفاوت وجود دارد.

راهنمایی ‎۱‎: با استقرای قوی ثابت کنید گرافی دو بخشی که ‎δk‎ و شرط هال را داشته باشد، حداقل ‎k!‎ تطابق کامل دارد.

راهنمایی ‎۲‎: به اثبات زیر برای وجود یک تطابق در گراف دوبخشی با شرط هال توجه کنید:

فرض کنید گراف دو بخشی ‎G‎ با بخش‌های ‎X‎ و ‎Y‎ داریم که به ازای هر ‎SX‎ داریم ‎|S||N(S)|‎. می‌خواهیم با استقرا بر روی ‎|X|‎ ثابت کنیم گراف مورد نظر تطابقی دارد که ‎X‎ را می‌پوشاند.

کوچک‌ترین مجموعه‌ی ناتهی ‎SX‎ را در نظر بگیرید که ‎|S|=|N(S)| (اگر چنین مجموعه‌ای وجود نداشته باشد، به سادگی به یکی از راس‌های بالا یکی از راس‌های پایین را منتسب می‌کنیم و باز شرط هال برقرار است). یکی از راس‌های ‎S‎ مانند ‎v‎ را به یکی از راس‌های مجاورش در ‎N(S)‎ مانند ‎u‎ منتسب می‌کنیم و ثابت می‌کنیم ‎G=Gvu‎ شرط هال را دارا می‌باشد.

فرض خلف می‌کنیم. فرض کنید ‎TX=Xv‎ شرط هال را نقض کند یعنی ‎|T|>|N(T)| (که ‎N‎ یعنی همسایه‌ها بعد از حذف ‎u‎ و ‎v‎) چون قبل از حذف ‎u‎ شرط هال بر قرار بوده یعنی ‎|T|=|N(T)| (بزرگ‌تر نبوده چون با حذف ‎۱‎ راس کوچکتر شده)، پس ‎uN(T).‎ ‎|S|‎ + ‎|T'| = |N(S)|‎ + ‎|N(T')|‎ از طرفی بنابر شرط هال ‎|S\cup T'| \leq |N(S\cup T')| = |N(S) \cup N(T')|‎ از تفریق دو رابطه اخیر به این نتیجه می‌رسیم که ‎|S\cap T'| \geq |N(S)\cap N(T')| \geq |N(S\cap T')|‎ ولی چون شرط هال برقرار است باید نامساوی اخیر تساوی باشد.

پس مجموعه‌ی ‎S\cap T'‎ را یافتیم که از ‎S‎ کوچک‌تر است و شرط هال به صورت تساوی برای آن صدق می‌کند که با کمینه بودن اندازه‌ی ‎S‎ تناقض دارد (‎S\cap T'‎ نمی‌تواند تهی باشد زیرا می‌دانیم ‎u‎ در ‎N(S)‎ و ‎N(T')‎ هست و بنابر استدلالهای مطرح شده ‎|S\cap T'| = |N(S) \cap N(T')|‎. هم‌چنین ‎v‎ در ‎S‎ هست و در ‎T'‎ نیست پس ‎S\cap T' \neq S‎).


ابزار صفحه