ثابت کنید حداقل n!×(n−1)!×⋯×2!×1! مربع لاتینِ n در n متفاوت وجود دارد.
راهنمایی ۱: با استقرای قوی ثابت کنید گرافی دو بخشی که δ≥k و شرط هال را داشته باشد، حداقل k! تطابق کامل دارد.
راهنمایی ۲: به اثبات زیر برای وجود یک تطابق در گراف دوبخشی با شرط هال توجه کنید:
فرض کنید گراف دو بخشی G با بخشهای X و Y داریم که به ازای هر S⊆X داریم |S|≤|N(S)|. میخواهیم با استقرا بر روی |X| ثابت کنیم گراف مورد نظر تطابقی دارد که X را میپوشاند.
کوچکترین مجموعهی ناتهی S⊆X را در نظر بگیرید که |S|=|N(S)| (اگر چنین مجموعهای وجود نداشته باشد، به سادگی به یکی از راسهای بالا یکی از راسهای پایین را منتسب میکنیم و باز شرط هال برقرار است). یکی از راسهای S مانند v را به یکی از راسهای مجاورش در N(S) مانند u منتسب میکنیم و ثابت میکنیم G′=G−v−u شرط هال را دارا میباشد.
فرض خلف میکنیم. فرض کنید T′⊆X′=X−v شرط هال را نقض کند یعنی |T′|>|N′(T′)| (که N′ یعنی همسایهها بعد از حذف u و v) چون قبل از حذف u شرط هال بر قرار بوده یعنی |T′|=|N(T′)| (بزرگتر نبوده چون با حذف ۱ راس کوچکتر شده)، پس u∈N(T′). |S| + |T'| = |N(S)| + |N(T')| از طرفی بنابر شرط هال |S\cup T'| \leq |N(S\cup T')| = |N(S) \cup N(T')| از تفریق دو رابطه اخیر به این نتیجه میرسیم که |S\cap T'| \geq |N(S)\cap N(T')| \geq |N(S\cap T')| ولی چون شرط هال برقرار است باید نامساوی اخیر تساوی باشد.
پس مجموعهی S\cap T' را یافتیم که از S کوچکتر است و شرط هال به صورت تساوی برای آن صدق میکند که با کمینه بودن اندازهی S تناقض دارد (S\cap T' نمیتواند تهی باشد زیرا میدانیم u در N(S) و N(T') هست و بنابر استدلالهای مطرح شده |S\cap T'| = |N(S) \cap N(T')|. همچنین v در S هست و در T' نیست پس S\cap T' \neq S).