المپدیا

پیدا کردن یال برشی

برای پیدا کردن یال برشی، ابتدا بر روی گراف الگوریتم $DFS$ را اجرا می کنیم. در هنگام اجرا شدن الگوریتم $DFS$ به ازای هر راس $i$ یک مقدار $dp[i]$ نگه می داریم که نشان دهنده ی این است که در زیر درخت راس $i$، بالا ترین $back_edge$ به چه ارتفاعی وصل می شود. مقدار $dp[i]$ برای هر راس این گونه حساب می شود که مقدار یک راس برابر خواهد شد با ماکسیمم مقداری که فرزندان آن راس دارند و یال هایی که از خود آن راس به پدرانش وصل است. حال یک یال که بین راس $v$ و $parent[v]$ برشی است اگر و فقط اگر $dp[v]$ مقدارش بالا تر از ارتفاع $v$ نباشد. یعنی یالی در زیر درخت $v$ وجود نداشته باشد که به راسی بالا تر از $v$ وصل باشد.

زمان اجرای این الگوریتم $O(n+m)$ است. ( $n$ نشان دهنده تعداد راس ها و $m$ نشان دهنده تعداد یال ها است.)

پیاده سازی این الگوریتم را در کد زیر مشاهده می کنید.

#include<iostream>
#include<vector>
 
using namespace std;
 
const int maxn=1000000+10;
 
bool mark[maxn],is[maxn];
int dp[maxn],h[maxn];
pair<int,int> edge[maxn];
vector<pair<int,int> > adj[maxn];
 
void dfs(int v,int parent,int index){
	dp[v]=h[v];
	mark[v]=true;
	for(int i=0;i<adj[v].size();i++){
		int u=adj[v][i].first;
		int ind=adj[v][i].second;
		if(!mark[u]){
			h[u]=h[v]+1;
			dfs(u,v,ind);
			dp[v]=min(dp[v],dp[u]);
		}
		else{
			if(u!=parent){
				dp[v]=min(dp[v],h[u]);
			}
		}
	}
	if(v!=1){
		if(dp[v]==h[v]){
			is[index]=true;
		}
	}
	return;
}
 
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<m;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		edge[i]=make_pair(u,v);
		adj[u].push_back(make_pair(v,i));
		adj[v].push_back(make_pair(u,i));
	}
	dfs(1,0,0);
	for(int i=0;i<m;i++){
		if(is[i]){
			cout<<edge[i].first<<" "<<edge[i].second<<endl;
		}
	}
	return 0;
}