سوال ۴

مجموعه‌ی ‎$A=\{1‎, ‎2‎, ‎\ldots‎, ‎100\}$‎ مفروض است.

$:a$به چند طریق می‌توان دو عدد صحیح از مجموعه‌ی ‎$A$‎ انتخاب کرد که مجموع آن‌ها عددی زوج باشد.

$:b$به چند طریق می‌توان دو عدد صحیح از مجموعه‌ی ‎$A$‎ انتخاب نمود که مجموع آن‌ها عددی فرد باشد.

  1. $a:2500,b:2500$
  2. $a:2500,b:2450$
  3. $a:2450,b:2450$
  4. $a:2450,b:2500$
  5. هیچ‌کدام‎

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

$(a$ دو عدد منتخب یا هر دو زوج هستند و یا هر دو فرد٬ بنابراین:

$$a=\binom{50}{2}+\binom{50}{2}=2450$$

$(b$ یکی از اعداد منتخب زوج و دیگری فرد است٬ بنابراین:

$$b=\binom{50}{1} \times \binom{50}{1}=2500$$