سوال ۳۰
میوه‌فروشی می‌خواهد مقداری میوه برای فروش بخرد. دو نوع میوه موجود است: پرتقال و سیب. قیمت خرید هر کیلو پرتقال ۲۰۰ تومان و قیمت فروش آن ۲۳۰ تومان است. قیمت خرید هر کیلو سیب هم ۱۰۰ تومان و قیمت فروش آن ۱۲۰ تومان است. میوه‌فروش می‌خواهد حداکثر به اندازه‌ی ۱۶۰۰۰ تومان خرید کند. همچنین به خاطر مسئله‌ی حمل و نقل، او حداکثر می‌تواند مجموعاً به اندازه‌ی ۱۰۰ کیلو جنس بخرد. حداکثر
مقدار سودی که میوه‌فروش می‌تواند از فروش جنس‌هایی که می‌خرد ببرد چند تومان است؟
- ۲۶۰۰
- ۲۵۰۰
- ۳۰۰۰
- ۲۴۰۰
- ۲۳۳۳
پاسخ
گزینه (۱) درست است.
فرض می‌کنیم $x$ کیلو پرتقال و $y$ کیلو سیب خریده باشد آن‌گاه:
$$x+y \leq 100 \quad , \quad 200x+100y \leq 16000 \quad or \quad 2x+y \leq 160$$
اگر نامعادله‌های فوق را در محورهای مختصات نمایش داده و اشتراک آن‌ها را هاشور بزنیم شکل زیر به دست می‌آید:
می‌خواهیم $30x+20y$ ماکزیمم شود٬ خط $30x+20y=k$ را چنان رسم می‌کنیم که از نقطه‌ی $A$ بگذرد در این صورت حاصل $30x+20y$ ماکزیمم مقدار خود را خواهد داشت. از تلاقی دو خط $x+y=100$ و $2x+y=160$ مختصات نقطه $A$ به صورت $(60,40)$ پیدا می‌شود که در این حالت حاصل $30x+20y$ برابر ۲۶۰۰ می‌شود.