برای مقادیر صحیح $x \ge 0$ و $y \ge 0$، تابع $A(x, y)$ را به این صورت تعریف می‌کنیم:
\[ \begin{eqnarray*} A(0, y) & = & y + 1 \\ A(x + 1, 0) & = & A(x, 1) \\ A(x + 1, y + 1) & = & A(x, A(x + 1, y)) \end{eqnarray*} \]
مقدار $A(1, y)$ برای کلیه‌ی مقادیر نامنفی $y$ چه‌قدر است؟
پاسخ
گزینه (۳) درست است.
$$A(1,y)=A(0+1,(y-1)+1)=A(0,A(1,y-1))=A(1,y-1)+1$$
در تساوی‌های فوق ابتدا از فرض سوم و سپس از فرض اول استفاده شده است. به استقرا ثابت می‌شود که:
$$A(1,y)=A(1,0)+y$$
و اما با توجه به فرض دوم مسئله٬ $A(1,0)$ به شکل زیر به‌دست می‌آید:
$$A(1,0)=A(0+1,0)=A(0,1)=1+1=2$$
پس:
$$A(1,y)=2+y$$