سیزده گلوله سفید رنگ در یک ردیف با فاصله مساوی از یکدیگر قرار داده شده‌اند. $A$ و $B$ بازی زیر را با همدیگر انجام می‌دهند:
ابتدا $A$ تعداد $k$ گلوله سفید رنگ را انتخاب کرده، با رنگ آبی رنگ می‌کند. سپس $B$ تعداد $k$ گلوله سفید رنگ را انتخاب کرده، با رنگ قرمز رنگ می‌کند. پس از این کار $A$ گلوله‌های سفیدی را برمی‌دارد که به یک گلوله آبی نزدیک‌تر باشند تا به یک گلوله قرمز. همچنین $B$ گلوله‌های سفیدی را برمی‌دارد که به یک گلوله قرمز نزدیک‌تر باشند تا به یک گلوله آبی. گلوله سفیدی که نزدیک‌ترین فاصله‌اش با گلوله‌های آبی و قرمز مساوی باشد برداشته نمی‌شود. برنده بازی کسی است که بیش‌ترین تعداد گلوله‌های سفید را بردارد.
اثبات کنید که به‌ازای $k=1,2,6$ ٬$A$ می‌تواند در این بازی برنده شود.
در بیان اثبات دقیق بوده و حتی‌الامکان با رسم شکل توضیح دهید.
پاسخ