سوال ۵

پنج نفر دور یک دایره هستند. در یک لحظه به طور هم‌زمان هر کس دست‌ش را به سمت یکی از دو نفر مجاور دراز می‌کند. دو نفر که دست‌شان را به سمت هم دراز کرده‌اند با هم دست می‌دهند. به طور میانگین در میان حالات مختلف چند عمل دست دادن انجام می‌شود؟

  1. $\frac {1} {2} $
  2. $\frac {2} {3} $
  3. $\frac {3} {2} $
  4. $\frac {5} {4} $
  5. 1

پاسخ

گزینه‌ی ۴ درست است.

بدون داشتن هیچ‌گونه سواد از امید ریاضی نیز می‌توان با بررسی حالات مختلف مسئله را حل کرد، اما راه حل بهتر تعریف متغیرهای تصادفی $I_1$ تا $I_5$ است. در یک وضعیت تعریف می‌کنیم $I_k = 1$ اگر افراد $k$ و $k+1$ به هم دست بدهند و در غیر این صورت تعریف می‌کنیم $I_k=0$. توجه کنید $I_5$ را برای دست دادن افراد شماره ۱ و ۵ تعریف می‌کنیم. به وضوح داریم $E (I_k) = \frac {1} {2} \times \frac {1} {2} $. پس با توجه به خواص امید ریاضی داریم: $$E (\text {تعداد دست دادن‌ها}) = \sum_ {k=1} ^5 E (I_k) = 5 \times \frac {1} {4} = \frac {5} {4} $$