سوال ۳

مجموعه‌ی $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ را در نظر بگیرید. تابع $f$ از $A$ به $A$ را ضربی گوییم، اگر به ازای هر $x, y \in A$ دست کم یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:

چند تابع ضربی $f$ از $A$ به $A$ وجود دارد؟

  1. 1
  2. 2
  3. 25
  4. 50
  5. 60

پاسخ

گزینه‌ی ۴ درست است.

با جاگذاری $x=1$ و $y=2$ داریم $f(1 \times 2) = f(1) \times f(2)$ که نتیجه می‌دهد $f(1)=1$. حال با جاگذاری $x = 2$ و $y = 2$ داریم $f(2 \times 2) = f(2) \times f(2)$ که نتیجه می‌دهد $f(4)=f(2)^2$. پس برای انتخاب $f(2)$ و $f(4)$ دو حالت داریم. $f(3)$ و $f(5)$ نیز شرط خاصی ندارند و هر چیزی می‌توانند باشند. پس پاسخ برابر با $1 \times 2 \times 5 \times 5 = 50$ است.