سوال ۸

گزینه‌ی ۴ درست است.

این مسئله نیاز به اطّلاعاتی در مورد متغیرهای تصادفی و امید ریاضی دارد. در صورتی که با این مفاهیم آشنا نیستید، قبل از خواندن راه حل، آن‌ها را مطالعه کنید (البته مسئله راه حل بدون استفده از اطّلاعات خاص هم دارد، امّا طولانی‌تر است).

به ازای هر فرد $i$ (فردی که از ایستگاه $i$ ام وارد می‌شود)، متغیّر تصادفی $I_i$ را تعریف می‌کنیم که برابر ۱ است، اگر فرد $i$ به ایستگاه پایانی برسد و در غیر این صورت برابر ۰ است. امید ریاضی $I_i$ برابر احتمال رسیدن فرد $i$ به ایستگاه پایانی یا همان $\frac{1}{2^{9-i}}$ می‌باشد. امید ریاضی جمع چند متغیر تصادفی برابر با جمع امید ریاضی تک تک آن‌هاست؛ پس امید ریاضی خواسته شده برابر است با: $$E(X) = E(\sum I_i) = \sum E(I_i) = \sum_{i=0}^9 \frac{1}{2^{9-i}} = 2 - \frac{1}{2^9} = \frac{1023}{512}$$