سوال ۲۵

گزینه (۵) درست است.

با در نظر گرفتن ۴ مثلث پر رنگ در شکل زیر حالات زیر پیش می‌آید:

1. تعداد مثلث‌های سیاه صفر باشد که این کار به $\binom{12}{0}$؛ یعنی ۱ طریق ممکن است.
2. تعداد مثلث‌های سیاه یک باشد که این کار به $\binom{12}{1}$؛ یعنی ۱۲ طریق ممکن است.
3. تعداد مثلث‌های سیاه دو باشد که در این صورت آن دو مثلث نمی‌توانند در داخل یک مثلث پر رنگ قرار گیرند. رنگ کردن دو مثلث با شرط فوق به $\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1}-3$؛ یعنی ۵۱ طریق ممکن است.
4. تعداد مثلث‌های سیاه ۳ باشد که در این صورت آن سه مثلث در داخل سه مثلث پررنگ متمایز قرار داشته و به $\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} - \binom{3}{1} \binom{6}{1}$؛ یعنی ۹۰ طریق امکان‌پذیر است.
5. تعداد مثلث‌های سیاه ۴ باشد که در این صورت آن چهار مثلث در داخل چهار مثلث پررنگ متمایز قرار داشته و به $\binom{3}{1} \binom{2}{1} \binom{3}{1} \binom{3}{1}$؛ یعنی ۵۴ طریق ممکن است.

مجموع کل حالات به‌دست آمده $1+12+51+90+54$؛ یعنی ۲۰۸ می‌شود.