Processing math: 100%

‎سوال ۲۲

99‎ ظرف با تعدادی گردو در هریک موجود است، این ظرف‌هاروی یک میز به صورت یک صف قرار گرفته‌اند. هرجا می‌توانیم ۲‎ ظرف کنار هم را انتخاب می‌کنیم و از هر کدام ‎۱‎ گردو برداریم (هر دو باید حداقل ‎۱‎ گردو داشته باشند)،یا به هر کدام ‎۱‎ گردو اضافه می‌کنیم. دو وضعیت از ظرف‌ها را قابل تبدیل به هم می‌نامیم اگر بتوان با شروع از هر کدام و با چند بار انجام این دو حرکت٬ به دیگری رسید. چند زوج متمایز از چهار وضعیت a، b، c و d به هم قابل تبدیل‌اند؟

  1. ۰
  2. ۱
  3. ۲
  4. ۳
  5. ۶

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

در هر مرحله دو گردو به کل گردوها اضافه و یا دو گردو از کل گردوها کم می‌شود٬ بنابراین اگر کل گردوها فرد باشد در نهایت نیز فرد و اگر کل گردوها زوج باشد در نهایت نیز کل گردوها زوج خواهد بود.

مجموع کل گردوها در حالات a، b، c و d به ترتیب فرد٬ زوج٬ فرد و زوج می‌باشد٬ بنابراین a به a،b به c،d به b و c به d قابل تبدیل نیستند و اما a به c و نیز b به d قابل تبدیل‌اند که نحوه‌ی تبدیل هر یک به شکل زیر می‌باشد:

نحوه‌ی تبدیل a به c:اولی را رد کرده و پس از آن هر زوج متوالی را انتخاب کرده و گردو به آن‌ها اضافه می‌کنیم.

  • اولی٬دومی و سومی را رد کرده و پس از آن هر زوج متوالی را انتخاب کرده و گردو به آن‌ها اضافه می‌کنیم.
  • اولی٬دومی و سومی٬ چهارمی و پنجمی را رد کرده و پس از آن هر زوج متوالی را انتخاب کرده و گردو به آن‌ها اضافه می‌کنیم.

اگر الگوریتم فوق را ادامه دهیم به حالت c خواهیم رسید.

نحوه‌ی تبدیل b به d:

  • زوج‌های (98,99)،...،(52,53)،(50,51)،(49,50)،...،(3,4)،(1,2) را انتخاب کرده و به هر یک از اعضای ۲۵ زوج اول یک گردو اضافه واز هر یک از اعضای ۲۵ زوج دیگر یک گردو برمی‌داریم که به دنباله‌ی یر خواهیم رسید:

2,3,4,5,...,49,50,51,...,95,96,97,98

  • زوج‌های (48,49)،...،(4,5)،(2,3) را انتخاب کرده و به هر یک از اعضای آن زوج‌ها یک گردو اضافه و زوج‌های (99,98)،...،(53,54)،(51,52) را انتخاب کرده و از هر یک از اعضای آن یک گردو برمی‌داریم که به دنباله‌ی زیر خواهیم رسید:

3,4,5,...,49,50,50,50,50,50,51,...,95,96,97

با تکرار الگوریتم فوق پس از مدتی به دنباله‌ی متقارن زیر می‌رسیم:

50,51,50,...,50,51,50,51,50,50,50,51,50,51,50,...,50,51,50

باز باتکرار آن الگوریتم به دنباله‌ی d خواهیم رسید.