سوال ۳۷

در روستایی دادوستد فقط به‌صورت مبادله‌ی اجناس صورت می‌گیرد. فرض کنید فقط ‎۴‎ جنس به نام‌های $A$ ‎ تا $D$ ‎ مبادله می‌شوند. یک مبادله را به‌صورت یک فرمول نشان می‌دهیم. مثلاً $AB\longleftrightarrow 3C4D$ یعنی یک عدد جنس $‎A$ ‎ و یک عدد جنس $‎B$ ‎ را می‌توان با ‎۳‎ عدد جنس $‎C$ ‎ و ‎۴‎ عدد عدد جنس $D$ ‎ مبادله کرد و برعکس.

می‌دانیم که فقط مبادله‌های زیر مجاز هستند:

$A\longleftrightarrow BD$

$BC\longleftrightarrow DA$

$2B\longleftrightarrow 2D$

$CA\longleftrightarrow 2C2D$

اگر یک نفر به‌تعداد کافی $A$ ‎ در اختیار داشته باشد، بعد از یک سری مبادله تعداد ‎ $C$ ‎، $‎D$ ‎ و $‎B$ هایی که در اختیار دارد، چند مورد از موارد زیر می‌تواند باشد؟

$1)6B2D4C$

$2)2CD$

$3)4D$

$4)2C2B$

هیچ مورد
۱ مورد
۲ مورد
۳ مورد
۴ مورد

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

شیوه تولید مورد اول به شکل زیر می‌باشد:

(لازم به یادآوری است که در هر مرحله می‌توانیم به تعداد دلخواه $A$ وارد عمل کنیم و در ضمن شماره‌ی عمل به کار رفته بر روی فلش نوشته شده است.)

$4A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 4B4D=4B4(DA) \quad \xrightarrow{(2)} \quad 8B4C=6B4C2B \quad \xrightarrow{(2)} \quad 6B4C2D$

شیوه تولید مورد سوم به شکل زیر می‌باشد:

$2A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2D \quad \xrightarrow{(2)} \quad 2D2D=4D$

شیوه تولید مورد چهارم به شکل زیر می‌باشد:

$2A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2D=2B2(DA) \quad \xrightarrow{(2)} \quad 2B2B2C=2B4B2C \\ \xrightarrow{(3)} \quad 2D4B2C=2(DB)2B2C \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2C$

مورد دوم قابل تولید نمی‌باشد.