سوال ۳۷

در روستایی دادوستد فقط به‌صورت مبادله‌ی اجناس صورت می‌گیرد. فرض کنید فقط ‎۴‎ جنس به نام‌های $A$‎ تا $D$‎ مبادله می‌شوند. یک مبادله را به‌صورت یک فرمول نشان می‌دهیم. مثلاً $AB\longleftrightarrow 3C4D$ یعنی یک عدد جنس $‎A$‎ و یک عدد جنس $‎B$‎ را می‌توان با ‎۳‎ عدد جنس $‎C$‎ و ‎۴‎ عدد عدد جنس $D$‎ مبادله کرد و برعکس.

می‌دانیم که فقط مبادله‌های زیر مجاز هستند:

$$A\longleftrightarrow BD$$

$$BC\longleftrightarrow DA$$

$$2B\longleftrightarrow 2D$$

$$CA\longleftrightarrow 2C2D$$

اگر یک نفر به‌تعداد کافی $A$‎ در اختیار داشته باشد، بعد از یک سری مبادله تعداد ‎$C$‎، $‎D$‎ و $‎B$هایی که در اختیار دارد، چند مورد از موارد زیر می‌تواند باشد؟

$1)6B2D4C$

$2)2CD$

$3)4D$

$4)2C2B$

  1. هیچ مورد
  2. ۱ مورد
  3. ۲ مورد
  4. ۳ مورد
  5. ۴ مورد

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

شیوه تولید مورد اول به شکل زیر می‌باشد:

(لازم به یادآوری است که در هر مرحله می‌توانیم به تعداد دلخواه $A$ وارد عمل کنیم و در ضمن شماره‌ی عمل به کار رفته بر روی فلش نوشته شده است.)

$$4A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 4B4D=4B4(DA) \quad \xrightarrow{(2)} \quad 8B4C=6B4C2B \quad \xrightarrow{(2)} \quad 6B4C2D$$

شیوه تولید مورد سوم به شکل زیر می‌باشد:

$$2A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2D \quad \xrightarrow{(2)} \quad 2D2D=4D$$

شیوه تولید مورد چهارم به شکل زیر می‌باشد:

$$2A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2D=2B2(DA) \quad \xrightarrow{(2)} \quad 2B2B2C=2B4B2C \\ \xrightarrow{(3)} \quad 2D4B2C=2(DB)2B2C \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2C$$

مورد دوم قابل تولید نمی‌باشد.