در روستایی دادوستد فقط به‌صورت مبادله‌ی اجناس صورت می‌گیرد. فرض کنید فقط ۴ جنس به نام‌های $A$ تا $D$ مبادله می‌شوند. یک مبادله را به‌صورت یک فرمول نشان می‌دهیم. مثلاً $AB\longleftrightarrow 3C4D$ یعنی یک عدد جنس $A$ و یک عدد جنس $B$ را می‌توان با ۳ عدد جنس $C$ و ۴ عدد عدد جنس $D$ مبادله کرد و برعکس.
می‌دانیم که فقط مبادله‌های زیر مجاز هستند:
$$A\longleftrightarrow BD$$
$$BC\longleftrightarrow DA$$
$$2B\longleftrightarrow 2D$$
$$CA\longleftrightarrow 2C2D$$
اگر یک نفر به‌تعداد کافی $A$ در اختیار داشته باشد، بعد از یک سری مبادله تعداد $C$، $D$ و $B$هایی که در اختیار دارد، چند مورد از موارد زیر می‌تواند باشد؟
$1)6B2D4C$
$2)2CD$
$3)4D$
$4)2C2B$
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
شیوه تولید مورد اول به شکل زیر می‌باشد:
(لازم به یادآوری است که در هر مرحله می‌توانیم به تعداد دلخواه $A$ وارد عمل کنیم و در ضمن شماره‌ی عمل به کار رفته بر روی فلش نوشته شده است.)
$$4A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 4B4D=4B4(DA) \quad \xrightarrow{(2)} \quad 8B4C=6B4C2B \quad \xrightarrow{(2)} \quad 6B4C2D$$
شیوه تولید مورد سوم به شکل زیر می‌باشد:
$$2A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2D \quad \xrightarrow{(2)} \quad 2D2D=4D$$
شیوه تولید مورد چهارم به شکل زیر می‌باشد:
$$2A \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2D=2B2(DA) \quad \xrightarrow{(2)} \quad 2B2B2C=2B4B2C \\ \xrightarrow{(3)} \quad 2D4B2C=2(DB)2B2C \quad \xrightarrow{(1)} \quad 2B2C$$
مورد دوم قابل تولید نمی‌باشد.