سوال ۱۳

به چند حالت می‌توان از یک مجموعه‌ی ‎ ۱۰‎عضوی به‌ترتیب سه زیرمجموعه‌ی ‎ $A_2$ ‎، ‎ $A_1$ ‎ و ‎ $A_3$ ‎ را انتخاب کرد به‌طوری که ‎ $A_1\cap A_2\cap A_3 = \phi$ ‎؟ (‎ $A_i$ ها لزوماً متمایز نیستند‎.(‎

$2^{10}$
$2^{15}$
$3^{10}$
$2^{20}$
$7^{10}$ ‎

پاسخ

گزینه (۵) درست است.

هر عضو از آن۱۰ عضو ۷ انتخاب زیر را مستقل از اعضای دیگر می‌تواند داشته باشد:

متعلق به هیچ یک از سه زیرمجموعه نباشد.
فقط متعلق به $A_1$ باشد.
فقط متعلق به $A_2$ ‎ باشد.
فقط متعلق به ‎ $A_3$ باشد.
به $A_1$ و $A_2$ ‎ متعلق بوده ولی به $A_3$ متعلق نباشد.
به $A_1$ و $A_2$ ‎ متعلق بوده ولی به $A_2$ متعلق نباشد.
به $A_2$ و $A_3$ ‎ متعلق بوده ولی به $A_1$ متعلق نباشد.

بنابراین طبق اصل ضرب تعداد حالات ممکن برابر $7^{10}$ ‎ می‌باشد.