سوال ۷

گزینه (۵) درست است.

به ازای $k=2$ نمی‌توان این کار را انجام داد زیرا باید $1 = \frac{1}{i} + \frac{1}{j}$ باشد. اگر $i=1$ یا $j=1$ باشد، حاصل از ۱ بیش‌تر می‌شود. پس $i,j \ge 2$ و از طرفی نمی‌توانند هر دو برابر $2$ باشند. پس حاصل کم‌تر از ۱ خواهد شد.

به ازای $k=3$ کار به شکل زیر قابل انجام است: $$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$$ حال فرض کنید کار به ازای $k=m$ برقرار باشد. مخرج تمام کسرها را ضرب‌ در ۲ کنید و حاصل را با $\frac{1}{2}$ جمع کنید. به این ترتیب کار برای $k=m+1$ نیز انجام می‌شود. پس به ازای $k=3, 4, 5, 6$ کار قابل انجام است.