Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

سوال ۱۵

n دایره در صفحه رسم شده است. با رسم دایره‌ی بعدی تعداد نواحی ایجاد شده در صفحه توسط این دایره‌ها حداکثر چه قدر می‌تواند افزایش یابد؟ ‎

  1. n
  2. n1
  3. n+1
  4. 2n
  5. 2n+1

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

راه‌حل اول: با رسم یک دایره از یک نقطه‌ی تقاطع تا تقاطع بعدی یک و فقط یک ناحیه اضافه می‌شود. چون هر دایره٬ دایره‌ی دیگر را حداکثر در دو نقطه قطع می‌کند پس تعداد کل نقاط تقاطع دایره‌ی جدید با دایره‌های قبل حداکثر 2n شده و در نتیجه تعداد نواحی ایجاد شده حداکثر 2n می‌باشد.

راه‌حل دوم: یک دایره صفحه را به دو ناحیه تقسیم می‌کند که با رسم دایره‌ی دوم به صورت متقاطع با دایره‌ی اول تعداد نواحی برابر ۴ شده و تعداد آن نواحی از ۲ به ۴ تغییر می‌کند. بنابراین به ازای n=1 جواب مورد نظر ۲ شده و گزینه‌های ۱ و ۵ رد می‌شوند. بارسم داسره سوم به صورت متقاطع با هر دو دایره‌ی قبل تعداد نواحی از ۴ به ۸ افزایش می‌یابد یعنی به ازای n=2 جواب مورد نظر ۴ می‌شود٬ بنابراین گزینه‌های ۲ و ۳ نیز رد می‌شوند.