سوال ۳۱

گزینه (۱) درست است.

اگر داخلی‌ترین شاخه‌ی مارپیچ را $x$ عدد چوب در نظر بگیریم تعداد کل چوب کبریت‌ها پس از $n$ پیچ برابر خواهد بود با:

$$m=(x-1)+(2+x)+(3+x+1)+(4+x+2)+...+(n+x+n-2) \\ \Rightarrow m= nx+n(n-1)-1 \Rightarrow 87=n(x+n-1)-1 \Rightarrow n(x+n-1)=88$$

۸۸ را به سه نوع می‌توان به صورت حاصل ضرب عوامل مثبتش نوشت:

$$I.88=2\times44 \\ II.88=4\times22 \\ III.88=8\times11$$

پس در هر مورد خواهیم داشت:

$$I.n(x+n-1)=2\times44 \quad \Rightarrow \quad n=2 \quad , \quad x=43$$

در این حالت مستطیل مورد نظر $1\times43$ خواهد بود:

$$II.n(x+n-1)=44\times2 \quad \Rightarrow \quad n=4 \quad , \quad x=19$$

در این حالت مستطیل مورد نظر $3\times21$ خواهد بود:

$$III.n(x+n-1)=8\times11 \quad \Rightarrow \quad n=8 \quad , \quad x=4$$

در این حالت مستطیل مورد نظر $7\times10$ خواهد بود که یکی از جواب‌ها است و جواب مورد انتظار مسئله همین حالت بوده است. برای این حالت شکل زیر رسم شده است: