سوال ۲

منظور از $\lfloor x \rfloor$ ، بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی با $x$ و منظور از $\lceil x \rceil$ ، کوچک‌ترین عدد صحیح بزر‌گ‌تر یا مساوی $x$ است.

از گزاره‌های زیر کدام درست هستند؟

$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor.I$ اگر و فقط اگر $x$ عدد صحیح باشد.

$\lfloor x \rfloor +1=\lceil x \rceil.II$ اگر و فقط اگر $x$ عدد صحیح نباشد.

$\lfloor x \rfloor \lceil y \rceil = \lceil x \rceil \lfloor y \rfloor.III$ ‌برای هر $x$ و $y$ .

$-\lfloor x \rfloor = \lceil -x \rceil.IV$ برای هر $x$ .

$IV$
$I$ و $IV$
$III،II،I$
$IV،II،I$
$IV،III،II،I$

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

$I$ صحیح است زیرا اگر $x$ عدد صحیح باشد هم $\lfloor x \rfloor$ و هم $\lceil x \rceil$ هر دو با خود $x$ برابرند.

$II$ نیز صحیح است زیرا اگر $x$ صحیح نباشد آن را به صورت $x=m+r$ می‌نویسیم که درآن $m$ یک عدد صحیح است و $0<r<1$ . در این صورت خواهیم داشت:

$\lfloor x \rfloor=\lfloor m+r \rfloor=m \quad , \quad \lceil x \rceil=\lceil m+r \rceil=m+1$

$III$ غلط است. مثال نقض $x=4$ و $y=2/2$ می‌باشد در این صورت خواهیم داشت؛

$\lfloor 4 \rfloor \lceil 2/2 \rceil=4\times3=12 \\ \lceil 4 \rceil \lfloor 2/2 \rfloor=4\times2=8$

$IV$ صحیح است. زیرا اگر $x$ صحیح باشد در این صورت خواهیم داشت:

$-\lfloor x \rfloor=-x \\ \lceil -x \rceil=-x$

و اگر $x$ صحیح نباشد آن را به صورت $x=m+r$ می‌نویسیم که در آن $m$ یک عدد صحیح بوده و $0<r<1$ . در این صورت خواهیم داشت:

$-\lfloor x \rfloor=-\lfloor m+r \rfloor=-m \\ \lceil -x \rceil = \lceil -m-r \rceil=\lceil -m+1-1-r \rceil=\lceil (-m-1) + (1-r) \rceil$

چون $0<1-r<1$ ٬ پس خواهیم داشت:

$\lceil -x \rceil=(-m-1)+1=-m$