سوال ۳۳
یک مثلث‌بندی، افرازی از سطح یک $n$ ضلعی به مثلث‌ها است به نحوی
که برای هر دو مثلث یکی از حالات زیر برقرار باشد:
- دو مثلث دقیقاً در یک ضلع کامل مشترک باشند.
- دو مثلث دقیقاً در یک رأس مشترک باشند.
- دو مثلث هیچ اشتراکی نداشته باشند.
می‌خواهیم هر یک از این مثلث‌ها را با یکی از دو رنگ سیاه و سفید رنگ کنیم به نحوی که هر دو مثلث مشترک در یک ضلع، رنگ متفاوت داشته باشند و در ضمن اضلاع $n$ ضلعی متعلق به مثلث‌های سفید باشند. به عنوان مثال در شکل بالا چنین مثلث‌بندی‌ای برای یک ۶ ضلعی داده شده است.
آیا می‌توان یک مثلث‌بندی با شرایط فوق برای یک ۸ ضلعی ارائه داد؟
پاسخ
تعداد اضلاع مثلث‌های سفید از تعداد اضلاع مثلث‌های سیاه به اندازه‌ی تعداد اضلاع چندضلعی بیش‌تر است. برای یک ۸ ضلعی تعداد اضلاع مثلث‌های سفید ۸ واحد از تعدا اضلاع مثلث‌ها سیاه بیش‌تر است. چون هم تعداد اضلاع مثلث‌های سفید بر ۳ بخش‌پذیر است و هم تعداد اضلاع مثلث‌های سیاه پس این‌که اختلاف آن‌ها ۸ واحد باشد امکان‌پذیر نیست.