سوال ۳

فرض کنید ‎ $b_qb_{q-1}\ldots b_0$ ‎ نمایش عدد ‎ $b$ ‎ در مبنای ‎۲‎ باشد. عدد ‎ $b$ ‎ بر ‎۳‎ بخش‌پذیر است اگر و تنها اگر:

‎ $b_1 = b_0 = 1$
مجموع ‎ $b_i$ ‎ ها بر ‎۹‎ بخش‌پذیر باشد.
مجموع ‎ $b_i$ ‎ ها بر ‎۳‎ بخش‌پذیر باشد ولی بر ‎۹‎ بخش‌پذیر نباشد.
مقدار ‎ $b_0‎ - ‎b_1‎ + ‎b_2‎ - ‎\cdots$ ‎ صفر باشد. ‎
مقدار ‎ $b_0‎ - ‎b_1‎ + ‎b_2‎ - ‎\cdots$ ‎ بر ‎۳‎ بخش‌پذیر باشد.

پاسخ

گزینه (۵) درست است.

در حالت کلی قابل اثبات است که اگر $a_p a_{p-1}…a_0$ نمایش عدد $a$ در مبنای $n$ باشد٬ آن‌گاه عدد $a$ بر $n+1$ بخش‌پذیر است اگر و تنها اگر مقدار $a_0-a_1+a_2-…$ بر $n+1$ بخش‌پذیر باشد. کافی است بسط عدد در مبنای $n$ را بنویسید.