سوال ۸

گزینه (۱) درست است.

تعداد حالات ممکن برابر تعداد جواب‌های صحیح معادله زیر است:

$$x_1+x_2+x_3+x_4=8 \quad\quad\quad\quad (x_1,x_4\geq 1 \quad , \quad x_2 \leq 2 \quad , \quad x_3 \geq 2)$$

به این معنی که به نفر $i$ام $(i=1,2,3,4)$، $x_i$ کتاب برسد.

حالات باید تعداد جواب‌های معادله بالا را بیابیم.

$$x_1+x_3+x_4=8-x_2 \quad\quad\quad\quad (x_1,x_4>0 \quad , \quad x_3>1 \quad , \quad x_2=0 \quad or \quad 1 \quad or \quad 2) \\ \Rightarrow number \quad of \quad answer=C(8-c_1-c_2-c_3-1,3-1)=C(8-x_2-0-0-1-1,2) \\ =C(6-x_2,2) =C(6,2)+C(5,2)+C(4,2)=15+10+6=31$$