سوال ۷

به هر رقم در مبنای دو (۰ یا ۱) یک بیت گفته می‌شود. عمل $\otimes$ بین دو بیت به صورت زیر انجام می‌شود: $$0 \otimes 0 = 0 \qquad 0 \otimes 1 = 0 \qquad 1 \otimes 0 = 0 \qquad 1\otimes 1 = 1$$ برای انجام عمل $\otimes$ بین دو عدد، ابتدا آن دو عدد را در مبنای دو می‌نویسیم. اگر تعداد ارقام دو عدد برابر نبود، آن‌قدر سمت چپ عدد کوچک‌تر رقم ۰ می‌گذاریم تا تعداد ارقام‌شان برابر شود. در انتها بیت به بیت عمل $\otimes$ را انجام می‌دهیم. برای مثال: $$14\otimes 5 = 4$$ زیرا: $$1110 \otimes 0101 = 0100$$

تعداد زوج‌های مرتب $(a, b)$ را از اعداد صحیح بیابید که $0 \le a,b <64$ و $a\otimes b = a$ باشد.

  1. ۲۴۳
  2. ۲۵۶
  3. ۵۱۲
  4. ۷۲۹
  5. ۵۱۱

پاسخ

گزینه‌ی ۴ درست است.

اعداد $a, b$ را به صورت اعداد شش رقمی در مبنای دو در نظر بگیرید. رقم $i$ ام دو عدد در صورتی مشکل ایجاد می‌کند که برای $a$ و $b$ به ترتیب $1$ و $0$ باشد. پس برای رقم $i$ ام دو عدد، سه حالت داریم. پس پاسخ برابر $3^6=729$ است.