یک مکعب a×b×c موازی محورهای مختصات داریم و میخواهیم آن را به طور کامل با آجرهای 1×1×3 پر کنیم. آجرها نمیتوانند از مکعب بیرون بزنند. به آجرهای موازی محور x، آجر نوع X میگوییم. به همین ترتیب آجرهای نوع Y و نوع Z را تعریف میکنیم. به ازای چند تا از حالات زیر برای ابعاد مکعب میتوان این کار را انجام داد، طوری که تعداد آجرهای هر سه نوع برابر باشد؟ 6×7×76×6×75×6×75×7×8
پاسخ
گزینهی ۱ درست است.
اگر تعداد آجرهای در یک راستا را n در نظر بگیریم، تعداد کل خانههای مکعب برابر 3×3×n خواهد بود (زیرا سه راستا داریم و هر آجر نیز سه خانه دارد). پس تعداد خانهها باید بر ۹ بخشپذیر باشد که فقط مکعب 6×6×7 این خاصیت را دارد. برای این مکعب نیز فرض کنید ۷ ارتفاع باشد. لایههای ۱، ۴ و ۷ مکعب را رنگ کنید. هر آجر عمودی دقیقن یکی از خانههای این لایهها را میپوشاند. تعداد مکعبهای عمودی ۲۸ تاست. پس از خانههای این لایهها 36×3−28 خانه برای دو راستای دیگر میماند که باید بر ۳ بخشپذیر باشد. تناقض حاصل حکم را ثابت میکند.