سوال ۱۵

یک مکعب $a \times b \times c$ موازی محورهای مختصات داریم و می‌خواهیم آن را به طور کامل با آجر‌های $1 \times 1 \times 3$ پر کنیم. آجر‌ها نمی‌توانند از مکعب بیرون بزنند. به آجرهای موازی محور $x$، آجر نوع $X$ می‌گوییم. به همین ترتیب آجرهای نوع $Y$ و نوع $Z$ را تعریف می‌کنیم. به ازای چند تا از حالات زیر برای ابعاد مکعب می‌توان این کار را انجام داد، طوری که تعداد آجر‌های هر سه نوع برابر باشد؟ $$6 \times 7 \times 7 \qquad 6 \times 6 \times 7 \qquad 5 \times 6 \times 7 \qquad 5 \times 7 \times 8$$

  1. ۰
  2. ۱
  3. ۲
  4. ۳
  5. ۴

پاسخ

گزینه‌ی ۱ درست است.

اگر تعداد آجرهای در یک راستا را $n$ در نظر بگیریم، تعداد کل خانه‌های مکعب برابر $3 \times 3 \times n$ خواهد بود (زیرا سه راستا داریم و هر آجر نیز سه خانه دارد). پس تعداد خانه‌ها باید بر ۹ بخش‌پذیر باشد که فقط مکعب $6 \times 6 \times 7$ این خاصیت را دارد. برای این مکعب نیز فرض کنید ۷ ارتفاع باشد. لایه‌های ۱، ۴ و ۷ مکعب را رنگ کنید. هر آجر عمودی دقیقن یکی از خانه‌های این لایه‌ها را می‌پوشاند. تعداد مکعب‌های عمودی ۲۸ تاست. پس از خانه‌های این لایه‌ها $36 \times 3 - 28$ خانه برای دو راستای دیگر می‌ماند که باید بر ۳ بخش‌پذیر باشد. تناقض حاصل حکم را ثابت می‌کند.