۳۴ توپ متفاوت با شماره‌های ۱، ۲، $\ldots$ و ۳۴ دور یک دایره قرار دارند. به چند طریق می‌توان ۱۷ تا از آن‌ها را قرمز و بقیه را آبی کرد، طوری که از هر ۱۲ توپ متوالی، دقیقن ۶ توپ رنگ قرمز داشته باشند؟
راهنمایی
دوازده توپ متوالی ۱ تا ۱۲ را در نظر بگیرید. همچنین ۱۲ توپی متوالی ۲ تا ۱۳ را در نظر بگیرید. آیا می‌توانید نتیجه بگیرید توپ ۱ و توپ ۱۳ همرنگ هستند؟
راهنمایی
با استفاده از راهنمایی پیشین، دیگر چه توپ‌هایی با توپ اول همرنگ خواهند بود؟
راهنمایی
با استفاده از راهنمایی پیشین، دیگر چه توپ‌هایی با توپ اول همرنگ خواهند بود؟
راهنمایی
نشان دهید تمام توپ‌هایی که شماره‌ی زوجی دارند می‌بایست همرنگ باشند.
راهنمایی
پس دو حالت برای رنگ توپ‌های زوج داریم. برای باقی توپ‌ها چطور؟
پاسخ
گزینه‌ی ۳ درست است.
ابتدا ثابت می‌کنیم در میان هر ۱۰ توپ متوالی دقیقن پنج توپ قرمز داریم. ۱۰ توپ متوالی در نظر گرفته و بقیه‌ی توپ‌ها را به دو دسته‌ی ۱۲ تایی متوالی تقسیم کنید. پس در میان ۲۴ توپ باقی‌مانده دقیقن ۱۲ توپ قرمز داریم و در نتیجه در میان ده توپ در نظر گرفته شده $17-12=5$ توپ قرمز داریم. به استدلال مشابه ثابت می‌کنیم در هر چهار توپ متوالی دقیقن دو توپ قرمز داریم (با در نظر گرفتن چهار توپ متوالی و تقسیم بقیه‌ی توپ‌ها به سه دسته‌ی ۱۰ تایی). در انتها به استدلال مشابه ثابت می‌کنیم در هر دو توپ متوالی دقیقن یک توپ قرمز داریم. پس توپ‌ها باید به صورت یک در میان، قرمز و آبی باشند که تنها دو حالت دارد.