سوال ۱۱

گزینه‌ی ۱ درست است.

• روش ساختن شکل بالا-چپ: ابتدا یک دایره درون تفرقک آغازین می‌کشیم. سپس تفرقک آغازین را به چهار تفرقک برابر تقسیم می‌کنیم. در انتها دو تفرقک بالا-راست و پایین-چپ را پاک می‌کنیم.
• روش ساختن شکل بالا-راست: ابتدا تفرقک آغازین را به چهار تفرقک برابر تقسیم می‌کنیم. سپس دایره‌ای درون آن کشیده و درون دایره‌ی کشیده شده یک تفرقک می‌کشیم. دوباره درون تفرقک کشیده شده یک دایره کشیده و درون آن یک تفرقک می‌کشیم. باز هم درون تفرقک کشیده شده یک دایره می‌کشیم. حال با پاک کردن سه تفرقک تودر‌تو، شکل به وجود می‌آید.
• روش ساختن شکل پایین-راست: ابتدا تفرقک آغازین را به چهار تفرقک برابر تقسیم می‌کنیم. سپس هر کدام از چهار تفرقک ساخته شده را به چهار تفرقک کوچک‌تر تبدیل می‌کنیم. حال درون هر یک از ۱۶ تفرقک کوچک، یک دایره می‌کشیم. شش تفرقک کوچکی را که در شکل نیستند، پاک می‌کنیم (اگر قبل از پاک کردن، قسمتی از آن‌ها از بین رفته بود، دور دایره‌ی متناظرشان یک تفرقک می‌کشیم تا دوباره تفرقک کامل شود، سپس تفرقک را پاک می‌کنیم). ممکن است پس از انجام این کار، برخی از تفرقک‌های کوچک مطلوب نیز ناقص شوند. دایره‌ی این تفرقک‌های مطلوب ناقص را در نظر گرفته و با کشیدن یک تفرقک دور آن‌ها، تفرقک را کامل می‌کنیم. در انتها تمام دایره‌ها را پاک می‌کنیم.
• اثبات ریسمانی نبودن شکل پایین-چپ: بدون از دست دادن کلّیت مسئله فرض کنید اندازه‌ی ضلع تفرقک آغازین برابر ۱ و مختصات رأس پایین-چپ آن برابر $(0, 0)$ باشد. در این صورت مختص $y$ پایین‌ترین نقطه‌ی هر دایره یا تفرقک جدیدی که به وجود می‌آید، به صورت $a+b\sqrt{2}$ است که $a$ و $b$ اعدادی گویا هستند. هم‌چنین شعاع هر دایره‌ی جدید و ضلع هر تفرقک جدید نیز به همین صورت است. در شکل داده شده، سه دایره‌ی کشیده شده را در نظر بگیرید. اگر مختص $y$ پایین‌ترین نقطه‌ی دو دایره‌ی پایین $a+b\sqrt{2}$ و شعاع دایره برابر $a'+b'\sqrt{2}$ باشد، مختص $y$ پایین‌ترین نقطه‌ی دایره‌ی بالا برابر $a+b\sqrt{2}+(a'+b'\sqrt{2})\sqrt{3}$ است. تناقض حاصل حکم را ثابت می‌کند.