سوال ۴

عدد $x= x_۰ + ۲ \times x_۱ + ۲ \times x_۲ + ۴ \times x_۳ + ۸ \times x_۴ + ۱۶ \times x_۵$ را در نظر بگیرید که در آن رقم‌های $x_۰,...,x_۵$ صفر یا یک هستند. معین کنید که برای چند مقدار مختلف $x$٬ بیش از یک ۶-تایی ($x_۰,x_۱...,x_۵$) وجود دارد به طوری که در معادله‌ی فوق صدق کند.

  1. ۱۶
  2. ۲۴
  3. ۳۰
  4. ۳۲
  5. ۳۴

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

حاصل عبارت داده شده به ازای مقادیر مختلف $x_i$ها از ۰ تا ۳۳ متغیر است. تنها در ۴مورد ۰، ۱، ۳۲ و ۳۳ متغیرها از $x_1$ تا $x_5$ شبیه هم هستند(در مورد ۰ و ۱ هر پنج متغیر برابر ۰ و در مورد ۳۲ و ۳۳ هر پنج متغیر برابر ۱ هستند). در سایر موارد اگر دو متغیر $x_1$ و $x_2$ نابرابر باشند می‌توان مقادیر آن‌ها رابا هم عوض کرد که در این صورت یک ۶-تایی جدید پدید می‌آید ولی x تغییر نمی‌کند. اگر $x_1$ و $x_2$ باهم مشابه بوده ولی با $x_3$ مشابه نباشند می‌توان مقادیر $x_1$ و $x_2$ را با مقدار $x_3$ جابه‌جا کرد. اگر $x_1$ ٬ $x_2$ و $x_3$ مشابه بوده ولی با $x_4$ مشابه نباشند می‌توان مقادیر آن سه را با $x_4$ تعویض کرد و بالاخره اگر $x_1$ ٬ $x_2$ ٬ $x_3$ و $x_4$ مشابه بوده ولی با $x_5$ مشابه نباشند می‌توان مقادیر آن چهار متغیر مشابه را با $x_5$ تعویض کرد بدون آن که در مقدار $x$ تغییری حاصل شود.