سوال ۲۷

گزینه (۳) درست است.

شرط لازم و کافی برای آن‌که سوراخ‌های یک مستطیل $n\times m$، طلایی باشد آن است که $n$ مضربی از $m$ باشد. این موضوع در شکل مقابل نشان داده شده است.

فرض می‌کنیم مستطیل $n\times m$ مطابق شکل مقابل دارای سوراخ طلایی باشد٬ آن‌گاه پرتوهای ورودی و خروجی از تلاقی بایک‌دیگر $k$ مستطیل $a\times b$ ایجاد می‌کنند که طول مستطیل اولیه $\frac{\sqrt{2}k}{2}(a+b)$ و عرض آن مستطیل برابر $\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)$ می‌شود به این معنا که طول مستطیل باید $k$برابر عرض آن باشد ($k$ عددی است صحیح). بنابراین شرط لازم و کافی برای آن که سوراخ‌های مستطیلی $n\times m$، طلایی باشد آن است که $n$ مضرب صحیحی از $m$ باشد. معلوم است که در این حالت به غیر از دو سوراخ گوشه‌ای٬ مابقی $m-1$ سوراخ همگی طلایی خواهند بود.

در بین مستطیل‌های داده شده٬ سوراخ‌های غیر واقع بر گوشه‌های $1384\times1384$ و $4152\times1384$ همگی طلایی‌اند که تعداد کل آن‌ها $1383+1383$ یعنی ۲۷۶۶ می‌شود.