ماشین «قارقوری» که برای نمایش اعداد طبیعی به‌کار می‌رود،از ۹ کلید و ۹ کارت‌‌خوان تشکیل شده است. برای کار با «قارقوری»، ابتدا باید ۹ عدد صحیح مثبت روی ۹ کارت تمیز نوشته و در کارت‌خوان‌های ماشین قرار دهیم، سپس با روشن و خاموش کردن کلیدهای آن، به عدد موردنظر برسیم. می‌دانیم عددی که «قارقوری» به‌عنوان خروجی نمایش می‌دهد برابر است با: n=s1×v1+s2×v2+...+s9×v9 که vi عدد نوشته‌شده روی کارت iام بوده و مقدار si درصورتی که کلید iاُم روشن باشد برابر یک و درصورتی که خاموش باشد، برابر منفی یک است.
وهاب قصد دارد از این ماشین برای نمایش اعداد طبیعی مختلف استفاده کند. می‌دانیم وهاب، مقادیر اولیه کارت‌ها را تنها یک‌بار و آن‌هم در آغاز کار با دستگاه می‌تواند تعیین کند و از آن به بعد صرفاً با تغییر وضعیت کلیدها قادر به تغییر مقدار خروجی خواهد بود. حداکثر مقدار k را بیابید که وهاب بتواند طوری مقادیر کارت‌ها را در ابتدا تعیین کند که تنها با تغییر دادن حالت کلیدها قادر به نمایش تمام اعداد ۱ تا k باشد.
پاسخ
گزینه (۵) درست است.
با تغییر یکی از ضرایب siها از ۱ به ۱- و یا از ۱- به ۱ زوجیت عدد n تغییر نخواهد کرد٬ بنابراین اگر عددی مانند α توسط ماشین قابل نمایش باشد عدد α+1 قابل نمایش نخواهد بود.