۳ عدد $a$٬ $b$ و $c$ روی تخته نوشته‌شده‌اند.آرش و ایمان به‌این‌ترتیب با این سه عدد بازی می‌کنند که هر کس در نوبت خود دو عدد دلخواه از این سه عدد، مثل $a$ و $b$ را از روی تخته پاک می‌کند و عدد $a+b$ و $a-b$ را به‌جای آن‌ها می‌نویسد.آرش بازی را شروع می‌کند.آرش و ایمان به‌طور یک در میان بازی می‌کنند.آرش می‌خواهد کار را به جایی برساند که هر سه عدد نوشته‌شده روی تخته بر ۳ بخش‌پذیر باشند و ایمان می‌خواهد جلوی این کار را بگیرد. به ازای چند تا از سه‌تایی‌های زیر به‌عنوان مقادیر اولیه‌ی ($a,b,c$) آرش می‌تواند به هدف خود برسد.
$$(1,2,10),(2,3,6),(3,1,4),(5,6,7),(100,1000,10000)$$
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
اگر آرش از سه‌تایی $(x,y,z)$ سه‌تایی $(x+y,x-y,z)$ را چنان بسازد که هر سه عدد $z$،$x-y$ و $x+y$ بر ۳ بخش‌پذیر باشند٬ آن‌گاه خواهیم داشت:
$ \left. \begin{array}{l l l} z\equiv 0 \pmod{3} \\ x-y\equiv 0 \pmod{3} \\x+y\equiv 0 \pmod{3} \end{array} \right\} \Rightarrow 2x\equiv0 \pmod{3} \Rightarrow x\equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow y\equiv0 \pmod{3}$
بنابراین معلوم می‌شود شرط لازم برای آن‌که آرش بتواند برنده شود آن است که سه‌تایی ماقبل آخر باید چنان باشد که هر سه عدد موجود در آن سه‌تایی بر ۳ بخش‌پذیر باشد تا آرش بتواند برنده شود که در بین سه‌تایی‌های داده شده هیچ سه‌تایی چنین خاصیتی را ندارد.