سؤال ۲۲

عدد $N$ را « متوازن» می‌گوییم اگر مجموع تعداد ارقام ۱ در همه‌ی اعداد ۱ تا $N$ برابر $N$ باشد. مثلاً ۱ متوازن است. ۱۱ متوازن نیست چون مجموع تعداد ارقام ۱ آن ( فقط در عددهای ۱، ۱۰ و ۱۱) برابر ۴ است. می‌دانیم که اولین عدد متوازن بزرگ‌تر از ۱ عدد ۱۹۹٫۹۸۱ است. تعداد عددهای متوازن بین ( و شامل) ۱۹۹٫۹۸۱ تا ۲۰۰٫۰۰۰ چند تاست؟

  1. ۱
  2. ۱۱
  3. ۱۲
  4. ۱۹
  5. ۲۰

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

چون عدد ۱۹۹۹۸۱ متوازن است بنابراین اعداد ۱۹۹۹۸۳٬۱۹۹۹۸۲،…،۱۹۹۹۹۰ نیز همگی متوازن هستند زیرا در هریک از آن اعداد فقط یک رقم ۱ وجود دارد و از عددی به عدد دیگر فقط یک واحد به مجموع ارقام مورد اشاره اضافه می‌شود. عدد ۱۹۹۹۹۱ متوازن نیست چون ۲ واحد به مجموع مورد نظر اضافه می‌شود٬ به این معنا که به ازای هر یک از اعداد ۱۹۹۹۹۱ تا ۱۹۹۹۹۹ مجموع مورد اشاره ۱ واحد از خود عدد بیش‌تر خواهد بود و در نتیجه در مورد عدد ۲۰۰۰۰۰ که رقم ۱ ندارد٬ آن مجموع با خود عدد ۲۰۰۰۰۰ یکسان خواهد بود به این معنا که عدد ۲۰۰۰۰۰ نیز متوازن است.