سؤال ۱۴

عدد ۸۴ رقمی دودویی $x= x_{82}x_{81}...x_1x_0$ مفروض است. از $x$ ، عدد ۴۲ رقمی مبنای ۴ خاص $y= y_{41}y_{40}...y_1y_0$ را به شرح زیر می‌سازیم.

$\begin{cases} y_0 = x_0-2x_1 & \\ y_i = x_{2i-1} + x_{2i} - 2x_{2i+1} & \\ y_{41} = x_{81} + x_{82} \end{cases}$

به‌طوری‌که هر $y_i$ می‌تواند یکی از رقم‌های مجموعه‌ی {۲ ، ۱، ۰، ۱- ، ۲- } را اختیار کند. چه رابطه‌ای بین $x= \sum_{i=0}^{82} x_i2^i$ و $y= \sum_{i=0}^{41} y_i4^i$ برقرار است؟

$y= 2x$
$x= 2y$
$x= y$
$y= 4x$
$y= -x$

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

$y=\sum_{i=0}^{41} y_i\times 4^i=y_0\times 4^0+y_1\times4^1+y_2\times4^2+...+y_{40}\times 4^{10}+y_{41} \times 4^{41}$

$=(x_0 - 2x_1)\times 4^0+(x_1+x_2-2x_3)\times 4^1+(x_3+x_4-2x_5)\times4x^2 +...+(x_{79}+x_{80}-2x_{81})\times4^{40} \\ +(x_{81}+x_{82})\times 4^{41}$

$=x_0 \times 2^0+x_1 \times 2^1 +x_2 \times2^2 +x_3 \times 2^3+...+x_{81} \times 2^{81} +x_{82} \times 2^{82}=\sum_{i=0}^{82} x_i \times 2^i=x$