سوال 7

اگر بتوانیم اعداد $1, 2 , ... , k$ را طوری با هم جمع و تفریق کنیم که حاصل بر 11 بخش‌پذیر شود٬ می‌گوییم $k$ عددی «خوب» است. برای مثال اعداد 5 و 3 هر دو عدد خوب هستند٬ زیرا $1+2-3=0$ و $1-2+3+4+5=11$ ٬ کدام یک از گزینه‌های زیر در مورد اعداد خوب درست است؟

همه‌ی اعداد فرد بزرگ‌تر از 10 خوب هستند.
همه‌ی اعداد خوب بزرگ‌تر از 10 فرد هستند.
همه‌ی اعداد زوج بزرگ‌تر از 10 خوب هستند.
از هر 5 عدد متوالی بزرگ‌تر از 10 حداکثر 3 تا خوب هستند.
گزینه‌های 1 و 3 هردو صحیح هستند.

پاسخ

گزینه (۵) درست است.

مجموع اعداد از ۱ تا $k$ را $t$ نام‌گذاری می‌کنیم. بزرگ‌ترین عدد مضرب ۱۱ که کوچک‌تر یا مساوی $t$ باشد را با $t_1$ و عدد مضرب ۱۱ ماقبل $t_1$ را $t_2$ می‌نامیم.

اگر $t-t_1$ زوج باشد آن‌گاه $\frac{t-t_1}{2}$ عددی بین ۰ تا ۵۰ خواهد بود که در این حالت با تبدیل علامت جمع به تفریق در پشت $\frac{t-t_1}{2}$ حاصل آن عبارت به جای $t$ برابر $t_1$ خواهد شد که به ۱۱ بخش‌پذیر است٬ و اگر $t-t_1$ فرد باشد آن‌گاه $\frac{t-t_2}{2}$ عددی طبیعی بین ۶ تا ۱۰ خواهد شد که در این حالت نیز با تبدیل علامت جمع به تفریق در پشت عدد $\frac{t-t_2}{2}$ حاصل آن عبارت $t_2$ خواهد شد که باز مضرب ۱۱ است.