یک شمارنده‌ی دودویی سه‌رقمی به طور معمول اعداد صفر $(۰۰۰)_۲$ تا هفت $(۱۱۱)_۲$ را می‌شمارد. اگر عدد دودویی شمارنده $(a_2a_1a_0)_2$ باشد٬ عددی که نشان می‌دهد برابر $4a_2 + 2a_1 + a_0$ است. فرض کنید یکی از رقم‌های این شمارنده خراب شده است و به جای ۰ و ٬۱ دو مقدار دیگر (مثلاً ۰ و ٬۲ ۱ و ٬۳ ۲ و ۳ یا مقادیر دیگر) را اختیار می‌کند. در نتیجه شمارنده به جای اعداد ۰ تا ٬۷ به ترتیب اعداد ۱۰٬۷٬۶٬۷٬۶٬۳٬۲ و ۱۱ را نمایش می‌دهد. رقم خراب٬ و دو مقداری که اختیار می‌کند کدام است؟
پاسخ
گزینه (؟) درست است.
رقم $a_0$ در اعداد ۴٬۲٬۰ و ۶ برابر ۰ می‌باشد. اگر آن رقم خراب باشد و به جای ۰ رقم $a$ را اختیار کند٬ آن‌گاه آن اعداد به ترتیب به صورت $4+a,2+a,0+a$ و $6+a$ در می‌آیند که با قرار دادن اعداد ۶٬۶٬۲ و ۱۰ به جای آن‌ها برای $a$ مقدار ثابتی به‌دست نمی‌آید.
رقم $a_1$ در اعداد ۴٬۱٬۰ و۵ برابر ۰ می‌باشد. اگر آن رقم خراب بوده و به جای ۰ رقم $a$ را اختیار کند٬ آن‌گاه آن اعداد به ترتیب به صورت $4+a,1+a,0+a$ و $5+a$ در می‌آیند که باقرار دادن اعداد ۶٬۳٬۲ و ۷ به جای آن‌ها برای $a$ مقدار ۲ به‌دست می‌آید. به این معنا که رقم $a_1$ به جای ۰ مقدار ۲ را اختیار می‌کند. به همین ترتیب معلوم می‌شود که آن رقم به جای ۱ عدد ۳ را به خودش اختیار کرده است.