سوال ۳۰

می‌دانیم که با ۸ رقم دودویی می‌توان اعداد ۰ تا ۲۵۵ را نمایش داد. یعنی اگر عدد دودویی $(a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0)_2$ باشد مقدار آن برابر $128a_7 + 64a_6 + 32a_5 + 16a_4 + 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 + a_0$ است. اگر رقم $a_4$ (یعنی اگر رقم با ارزش $2^4$) به جای ۰ و ٬۱ دو مقدار ۱- و ۱ را اختیار کند٬ تعداد کل اعداد متمایز قابل نمایش با این ۸ رقم دودوئی چند تا است؟

  1. ۱۲۸
  2. ۱۴۴
  3. ۱۹۶
  4. ۲۵۶
  5. ۲۷۲

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

اگر ۲۵۶ عدد مورد نظر را با ۱۶ دسته ۱۶تایی از ۰ تا ۱۵، از ۱۶ تا ۳۱، از ۳۲ تا ۴۷،…، از ۲۴۰ تا ۲۵۵ تقسیم کنیم آن‌گاه رقم $a_4$ در دسته‌های دوم٬ چهارم٬…٬ شانزدهم برابر ۱۲۸ می‌باشد. در دسته‌های اول٬ سوم٬ …٬ پانزدهم با تبدیل ۰ به ۱- در رقم $a_4$ آن اعداد ۱۶ واحد کم‌تر می‌شوند که در این صورت اعداد دسته $(2k-1)$ام همان اعداد دسته $(2k)$ام می‌شود و فقط ۱۶ عدد موجود در دسته اول به اعداد از ۱۶- تا ۱- تبدیل می‌شوند. بنابراین تعداد کل جواب‌ها $128+16$ یعنی ۱۴۴ می‌شود.