سؤال ۳۰
یک n-ضلعی را «کامل» می‌نامیم اگر به ازای هر عدد صحیح $(1≤i≤n) i $، دقیقاً یک ضلع به طول $i$ داشته باشد و هر دو ضلع مجاور آن بر هم عمود باشند. کم‌ترین عدد $n$ که به ازای آن، n-ضلعی کامل وجود دارد چند است؟
- ۴
- ۶
- ۸
- ۱۲
- ۱۶
پاسخ
گزینه (۳) درست است.
اگر از یک نقطه از محیط چندضلعی اشاره شده٬ شروع و در یک جهت محیط آن را طی کنیم تا به نقطه شروع بازگردیم آن‌گاه تعداد واحدهایی که به سمت راست حرکت می‌کنیم با تعداد واحدهایی که به سمت چپ حرکت می‌کنیم برابر است واین موضوع برای جهت‌های بالا و پایین نیز صحیح است٬ به این معنا که مجموع واحدهای عمودی و نیز مجموع واحدهای افقی زوج است که زوج بودن کل محیط $n$ ضلعی را نتیجه می‌دهند.
به ازای $n=4$ به مستطیل میرسیم که طول دو ضلع مقابل آن باهم برابر است و شرایط مسئله را برآورده نمی‌کند. به ازای $n=6$ چون مجموع اعداد از ۱ تا ۶ برابر ۲۱ بوده و فرد است٬ شرایط مسئله برآورده نمی‌شود. به ازای $n=8$ به شکلی مانند شکل زیر میرسیم:
