سؤال ۲۰

طبق قواعد زیر هر شکل از شکل قبل به این صورت ساخته می‌شود:

• هر مربع تبدیل به دایره می‌شود.

• هر مثلث تبدیل به مربع می‌شود.

• در پایان، به ازاء هر دایره (حتی دایره‌های جدید)، یک مثلث جدید می‌کشیم و به آن دایره وصل می‌کنیم. در بالا چهار شکل اول این سری را نشان داده‌ایم. شکل یازدهم چند تا مثلث دارد؟

  1. ۸۹
  2. ۹۰
  3. ۱۲۱
  4. ۱۲۳
  5. ۱۲۵

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

تعداد دایره‌ها٬ مثلث‌ها و مربع‌های موجود در مرحله $n$ام را به ترتیب با $S(n)،D(n)$ و $R(n)$ نمایش می‌دهیم که دراین صورت خواهیم داشت:

$$D(1)=1 , S(1)=2 ,R(1)=0$$

$$D(n)=D(n-1) + R(n-1)$$

$$R(n)=S(n-1)$$

$$S(n)=D(n)$$

بنابراین به جواب زیر خواهیم رسید:

با توجه به جدول فوق معلوم می‌شود که در انتهای مرحله ۱۱ تعداد مثلث‌ها برابر ۱۲۳ می‌باشد.