سؤال ۱۹

گزینه (۵) درست است.

اولا از نابرابری $f(n+1)>f(n)$ معلوم می‌شود که تابع اکیدا صعودی است٬ بنابراین $f(n)>n$ برقرار است و چون $f(1)\neq 1$، در نتیجه $f(n)>n$(اگر $f(1)= 1$، آن‌گاه $f(f(1))=3$ یا $f(1)=3$ که تناقض است).

اگر $f(1)=k \geq 3$ آن‌گاه $f(f(1))=3\times1$ یا$f(k)=3$ که با $f(n)>n$ در تضاد است٬ بنابراین $f(1)=k=2$:

$$f(1)=2$$

$$\Rightarrow f(f(1))=3 \Rightarrow f(2)=3$$

$$\Rightarrow f(f(2))=6 \Rightarrow f(3)=6$$

$$\Rightarrow f(f(3))=9 \Rightarrow f(6)=9$$

$$\Rightarrow f(f(6))=18 \Rightarrow f(9)=18$$