سوال ۳۲

فرض کنید ‎ $S\subseteq\{1,2,\ldots,8\}$ ‎ باشد. برای یک زیر مجموعه‌ی ‎ $S$ از اعداد طبیعی تعریف می‌کنیم ‎ $S^*=\{x+1|x\in S\}$ ‎. اگر تعداد ‎ $S$ ،‎هایی که ‎ $S\cup S^*=\{1,2,\ldots,9\}$ ‎ برابر ‎ $n$ ‎ باشد، باقی‌مانده‌ی ‎ $n$ ‎ بر ‎۵‎ کدام است؟

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

$S$ باید هر دو عضو ۱ و ۸ را داشته باشد. از بین اعداد ۶٬۵٬۴٬۳٬۲ و ۷ تعدادی می‌توانند در $S$ نباشند٬ اگر این تعداد برابر ۰ باشد به $\binom{6}{0}$ ؛یعنی ۱ طریق ممکن است. اگر این تعداد بربر ۱ باشد به $\binom{6}{1}$ ؛ یعنی ۶ طریق ممکن است. اگر تعداد مورد نظر ۲ باشد به $\binom{6}{0}-5$ ؛ یعنی ۱۰ طریق ممکن است و بالاخره اگر تعداد اشاره شده بربر ۳ باشد به ۴ طریق ممکن است. یاد‌آوری می‌شود که از هر دو عضو متوالی حداقل یکی در $S$ موجود است. بنابراین تعداد کل حالات برابر ۲۱ می‌باشد.