سوال ۲۴

سه ظرف ‎۳‎ لیتری داریم که در هر کدام ‎۱‎ لیتر آب وجود دارد. در هر حرکت یکی از ظرف‌هارا انتخاب می‌کنیم مقدار ‎$1 \over 3$‎ آب درون آن را در یکی از دو ظرف دیگر و ‎$1 \over 3$‎ دیگر را در ظرف سوم می‌ریزیم و ‎$1 \over 3$‎ را در همان ظرف اول باقی می‌گذاریم. فرض کنید این کار را چند بار تکرار کنیم. در ظرف‌ها به‌ترتیب چه‌مقدار آب می‌تواند باشد؟

  1. $27 \over 243$‎ و ‎$301 \over 243$‎ و ‎$401 \over 243$‎
  2. $13 \over 81$‎ و ‎$89 \over 81$‎ و ‎$141 \over 81$
  3. ‎$41 \over 81$‎ و ‎$111 \over 81$‎ و ‎$91 \over 81$‎
  4. ‎$247 \over 243$‎ و ‎$91 \over 243$‎ و ‎$391 \over 243$‎
  5. $292 \over 243$‎ و ‎$129 \over 243 $‎ و ‎$308 \over 243$‎

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

در ابتدا آب موجود در هر یک از ظروف را $\frac{3^k}{3^k}$ در نظر می‌گیریم که در آن $K$ به اندازه‌ی کافی بزرگ است.

پس از گذشت مراحلی وضعیت سه ظرف چنان است که مخرج همان $3^k$ بوده و صورت آن‌ها به صورت $b\times 3^i ، a\times 3^i$ و $c\times 3^i$ n در می‌آید. در مرحله‌ی بعد با فرض این که آب موجود در ظرف اول را تقسیم کنیم صورت سه کسر به ترتیب برابر $(3b+a)\times 3^{i-1} ، a \times 3^{i-1}$ و $(3c+a)\times 3^{i-1}$ خواهد شد که اگر صورت هر یک از کسرها را با مخرج آن‌ها ساده کنیم٬ صورت آن کسرها به ترتیب به صورت $3b+a ، a$ و $3c+a$ خواهد شد که باقی‌مانده‌ی آن سه عدد در تقسیم بر ۳ یکسان است. در بین گزینه‌ها فقط سه عدد موجود در گزینه‌ی «۴» چنان هستند که صورت هر سه عدد در تقسیم بر ۳ باقی‌مانده‌ی ۱ می‌آورد.