سوال ۲۱

یک جدول ‎ $12 \times 12$ ‎ داریم که در گوشه‌ی بالای سمت راست و پایینِ سمت چپ آن حرف ‎ $O$ ‎ قرار دارد و گوشه‌ی بالای سمت چپ و همچنین پایینِ سمت راست آن با حرف ‎ $X$ ‎ پر شده است. در قدم اول در خانه‌های مجاورِ خانه‌های شامل ‎ $O$ ‎ ، حرف ‎ $O$ ‎ قرار می‌دهیم و در قدم بعد در خانه‌های مجاور خانه‌های شامل ‎ $X$ ‎، حرف ‎ $X$ ‎ را می‌نویسیم (اگر این خانه قبلاً با حرف دیگری پر شده بود، حرف قبلی را پاک و حرف جدید را جایگزین می‌کنیم). این کار را متناوباً تکرار می‌کنیم. اگر در هر قدم تعداد ‎ $O$ ‎ها در جدول را با ‎ $K$ ‎ نشان دهیم، حداکثر ‎ $K$ ‎ چقدر است؟ (دو خانه را که یک ضلع مشترک دارند مجاور می‌نامیم‎(.‎

۶۵
۷۲
۹۴
۱۱۲
۱۲۴

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

خانه‌های هاشورخورده نشانگر $O$ و سایر خانه‌ها نشانگر $X$ می‌باشند. پس از مراحلی وضعیت جدول به شکل مقابل می‌باشد که ۹۴ خانه از آن $O$ می‌باشد و تا آن مرحله هرگز تعداد $O$ ها به بیش از ۹۴ نمی‌رسد. پس از این مرحله یک در میان وضعیت وضعیت جدول به همین شکل می‌شود. پس هرگز تعداد $O$ ها بیش از ۹۴ نخواهد رسید.