سوال ۱۲

‎۶‎ نفر برای انتخاب در یک کمیته‌ی ‎۳‎ نفره نامزد شده‌اند. تعداد انتخاب‌کنندگان ‎۳۰‎ نفر است و هریک دقیقاً به ‎۳‎ نفر رأی داده است. نفرات منتخب به‌ترتیب ‎۲۲٬۲۶ و ‎۱۹‎ رأی آورده‌اند. حداقل چند نفر به‌هر سه عضو انتخاب‌شده رأی داده‌اند؟

۶
۷
۸
۹
هیچ‌کدام

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

افراد را $B،A$ و $C$ می‌نامیم. $n(X \cap Y) ، n(\overline{X}) ، n(X)$ و $n(X \cup Y)$ ، به ترتیب نشانگر تعداد افرادی است که به $X$ رای داده‌اند٬ به $X$ رای نداده‌اند٬ هم به $X$ و هم به $Y$ رای داده‌اند و بالاخره به $X$ یا $Y$ رای داده‌اند. حداقل مقدار عبارت $n(A \cap B \cap C)$ مطلوب مسئله می‌باشد.

$n(\overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}) \leq n(\overline{A})+n(\overline{B})+n(\overline{C})=4+8+11=23 \\ \Rightarrow n[(\overline{A \cap B \cap C})] \leq 23 \quad \Rightarrow \quad n(total)-n(A \cap B \cap C) \leq 23 \\ \Rightarrow 30-n(A \cap B \cap C) \leq 23 \quad \Rightarrow \quad 7 \leq n(A \cap B \cap C)$